Bài 105525

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{mx^2 + 3mx + 2m + 1}{x + 2} (1)$
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị

$m$ , tiệm cận xiên (hay ngang) của đồ thị hàm số

$(1)$ luôn đi qua một điểm cố định.
2) Với mỗi giá trị

$m$ cho trước, hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

$A( - 1;0)$ và tiếp xúc với đồ thị hàm số

$(1)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 2:38:54 PM

$1)$ Trong trường hợp tổng quát ta biến đổi biểu thức của hàm số (1) dưới dạng (lấy tử chia cho mẫu)

$y = mx + m + \frac{1}{{x + 2}}$

$(2)$
Vậy đồ thị của hàm số có tiệm cận xiên (hay ngang, điều này xảy ra khi

$m = 0$ ).

$y = m(x + 1)$
Với

$x = - 1$ , ta luôn có

$y = 0$ . Vậy tiệm cận xiên (hay ngang) luôn luôn đi qua điểm

$A( - 1;{\rm{ 0)}}$ .

$2)$ Gọi

$k$ là hệ số góc của đường thẳng

$d$ đi qua

$A( - 1;{\rm{ 0)}}$ . Đường thẳng

$d$ có phương trình

$y = k(x + 1)$
Để

$d$ tiếp xúc với đồ thị hàm số

$(1)$ (hay

$(2)$ ), thì phương trình sau đây (sẽ quy về phương trình bậc hai) phải có nghiệm kép

$m(x + 1) + \frac{1}{{x + 2}} = k(x + 1){\rm{ }} \Leftrightarrow (m - k)(x + 1) + \frac{1}{{x + 2}} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (m - k)(x + 1)(x + 2) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow (m - k){x^2} + 3(m - k)x + \left[ {2(m - k) + 1} \right] = 0{\rm{ (3)}} \end{array}$

Để

$(3)$ có nghiệm kép thì

$(3)$ phải là những phương trình bậc

$2$ với

$\Delta = 0$ , tức là

$\left\{ \begin{array}{l} m - k \ne 0\\ \Delta = 9{(m - k)^2} - 4(m - k)\left[ {2(m - k) + 1} \right] = (m - k)(m - k - 4) = 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow k = m - 4$
Vậy với mỗi giá trị

$m$ cho trước, từ điểm

$A( - 1;{\rm{ 0)}}$ ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

$(1)$ , có phương trình:

$y = (m - 4)(x + 1)$

Bài 105525

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105525

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan