Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ sao cho: $A(0;0;0),B(2;0;0), C(2;2;0), D(0;2;0), A'(0;0;2), B'(2;0;2), C'(2;2;2), D'(0;2;2)$
$\Rightarrow M(1;0;0), N(0;2;1), P(1;2;2)$
a) Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{MN}=(-1;2;1) \\ \overrightarrow{BD}=(-2;2;0) \\\overrightarrow{BC'}=(0;2;2) \end{array} \right. $ $\Rightarrow \overrightarrow{n}_{(BDC')}=[\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC'} ]=(4;4;-4) $
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}_{(BDC')}=0 $
$\overrightarrow {MN} // (BDC') $ (do $M\notin (BDC')$)
Ta có $MN=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6} $
$d(MN,(BDC'))=d(M,(BDC'))$ (do $MN//(BDC')$)
Phương trình $(BDC'):x+y-z=0\Rightarrow d(MN,(BDC'))=\frac{|1-2|}{\sqrt{3} }=\frac{\sqrt{3} }{3} $
b) Ta có: $V_{C.MNP}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP} ].\overrightarrow{MC} | $
$=\frac{1}{6}|[(-1;2;1),(0;2;2)](1;2;0)| =1$ (đvtt)
$cos \varphi=\frac{|\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{BD} |}{MN.BD} =\frac{|(-1;2;1)(-2;2;0)|}{\sqrt{6}.\sqrt{8} }=\frac{\sqrt{3} }{2} $
Vậy $\varphi=30^0$
c) Gọi $I, R'$ là tâm và bán kính của mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp hình lập phương
$\Rightarrow I$ là trung điểm của $AC'$ và $R'=\frac{AC'}{2} \Rightarrow I(1;1;1), R'=\sqrt{3} $
Phương trình $(A'BD): \frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1 \Leftrightarrow x+y+z-2=0 $
$d=d(I,(A'BD))=\frac{\sqrt{3} }{3} $
Ta có: $A', B, D \in (S)$
$\Rightarrow $ Đường tròn $(A'BD)=(A'BD)\cap(S)$
$R=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{3-\frac{1}{3} }=\frac{2\sqrt{6} }{3} $
Vậy $R=\frac{2\sqrt{6} }{3} $