Bài 107744

Question

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi với các đường chéo $AC=4a, BD=2a$, chúng cắt nhau tại $O$. Đường cao hình chóp $SO=h$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A$, vuông góc với $SC$ và cắt $SB, SC, SD$ lần lượt tại $B',C',D'$
a) Xác định $h$ để $\Delta B'C'D'$ đều
b) Tính bán kính $r$ của mặt cầu nội tiếp hình chóp theo $a$ và $h$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/11/2012 3:56:26 PM

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O(0;0;0), A(2a;0;0), B(0;a;0), S(0;0;h)\Rightarrow C(-2a;0;0), D(0;-a;0)$
a) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} SC\bot (\alpha )\\ SC\bot BD(BD\bot SAC) \end{array} \right. \Rightarrow BD//(\alpha )\Rightarrow B'D'//BD$
$\overrightarrow{SC}=(-2;0;-h) $
$\Rightarrow $ phương trình tham số $SC:\left\{ \begin{array}{l} x=-2a+2at\\ y=0\\z=ht \end{array} \right. $
Phương trình $(\alpha ):2a(x-2a)+hz=0\Leftrightarrow 2ax+hz-4a^2=0$
$\Rightarrow C'(\frac{8a^3-2ah^2}{4a^2+h^2};0;\frac{8a^2h}{4a^2+h^2} )$
$\overrightarrow{SB}=(0;a;-h) \Rightarrow $ Phương trình tham số $SB:\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=a+at\\z=-ht \end{array} \right. $
$\Rightarrow B'(0;\frac{ah^2-4a^3}{h^2};\frac{4a^2}{h} )$
$D'B'//DB\Rightarrow I$ là trung điểm $D'B'$
Mặt khác, $D'B'\bot (SAC)(do DB\bot (SAC))$ nên $D'B'\bot AC'\Rightarrow \Delta B'C'D'$ cân tại $C'\Rightarrow \Delta IB'C'$ là nửa tam giác đều
Để $\Delta B'C'D'$ đều thì $IC'=IB'\sqrt{3} $
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{8{a^3} - 2a{h^2}}}{{4{a^2} + {h^2}}}} \right)^2} + \left( {\frac{{4{a^2}{h^2} - 16{a^4}}}{{{h^2}(4{a^2} + {h^2})}}} \right) = 3{\left( {\frac{{4{a^3} - a{h^2}}}{{{h^2}}}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{{4{a^3} - a{h^2}}}{{4{a^2} + {h^2}}}} \right)^2} + \left( {4 + \frac{{16{a^2}}}{{{h^2}}}} \right) = 3{\left( {\frac{{4{a^3} - a{h^2}}}{{{h^2}}}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{4}{{4{a^2} + {h^2}}} = \frac{3}{{{h^2}}}\\
\Leftrightarrow h = 2a\sqrt 3
\end{array}$

b) Ta có:
$\begin{array}{l}
{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}r.{S_{tp}}\\
{S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}|{\rm{[}}\overrightarrow {SA} {\rm{,}}\overrightarrow {SB} {\rm{]}}| = \frac{1}{2}|{\rm{[(2a;0; - h),(0;a; - h)]}}|\\
= \frac{1}{2}|(ah;2ah;2{a^2})| = \frac{a}{2}\sqrt {4{a^2} + 5{h^2}}
\end{array}$
Mà $\Delta SAB=\Delta SBC=\Delta SCD=\Delta SDA$, nên:
$\begin{array}{l}
{S_{tp}} = 4{S_{\Delta SAB}} = 2a\sqrt {4{a^2} + 5{h^2}} \,\,;\,\,\,{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = 4{a^2}\\
\Rightarrow {S_{tp}} = 4{a^2} + 2a\sqrt {4{a^2} + 5{h^2}} \\
{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}h.{S_{ABCD}} = \frac{{4{a^2}h}}{3} \Rightarrow r = \frac{{3V}}{{{S_{tp}}}} = \frac{{2ah}}{{2a + \sqrt {4{a^2} + 5{h^2}} }}
\end{array}$

Bài 107744

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107744

1 Đáp án

Liên quan

PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN. CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

PHÉP ĐỐI XỨNG QUA MẶT PHẲNG VÀ SỰ BẰNG NHAU CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Lý thuyết liên quan