Bài 108420

Question

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, góc giữa hai mặt bên và đáy bằng $60^0$. Dựng thiết diện qua $DC$ và là mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SDC),(ABCD)$. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích $V_1,V_2$. Tìm tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

score 0 · Answer 1

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,CD. $ Khi đó $\widehat{SNM}=60^0$ là góc giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy $(ABCD)$. Trong tam giác $SNM$ vẽ đường phân giác $NK$ của góc $SNM ( K \in SM)$
Vì $DC // AB \Rightarrow DC //(SAB)$
$\Rightarrow (KDC) \cap (SAB)=QP //AB ( Q \in SA, P \in SB)$
Khi đó $CDQP$ là thiết diện phải dựng.

Vì $SMN$ là tam giác đều nên $KS=KM$
$\Rightarrow Q, P$ tương ứng là trung điểm $SA,SB.$
Gọi $V_1$ là thể tích phần hình chóp nằm trên thiết diện .Ta có:
$V_1=V_{S.QPCD}=V_{S.QPD}+V_{S.PDC} (1)$
Ta có : $\frac{V_{S.QPD}}{V_{S.ABD}}=\frac{SQ}{SA}.\frac{SP}{SB}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{S.QDP}=\frac{1}{4}V_{S.ABD}=\frac{1}{8}V_{S.ABCD}=\frac{1}{8}V (2)$
Ở đây $V=V_{ABCD}$. Tương tự có $\frac{V_{S.PDC}}{V_{S.BDC}}=\frac{1}{2}\Rightarrow V_{S.BDC}=\frac{1}{4}V (3)$
Từ $(1),(2),(3)$ ta có: $V_1=V_{S.QDCP}=\frac{1}{8}V+\frac{1}{4}V=\frac{3}{8}V (4)$
Hệ thức $(4)$ dẫn đến $\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{5}$.

Bài 108420

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108420

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan