Bài 108420

Question

Cho hình chóp tứ giác đều

$S.ABCD$ , góc giữa hai mặt bên và đáy bằng

$60^0$ . Dựng thiết diện qua

$DC$ và là mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng

$(SDC),(ABCD)$ . Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích

$V_1,V_2$ . Tìm tỉ số

$\frac{V_1}{V_2}$ .

score 0 · Answer 1

Gọi

$M,N$ lần lượt là trung điểm

$AB,CD.$ Khi đó

$\widehat{SNM}=60^0$ là góc giữa mặt bên

$(SCD)$ và đáy

$(ABCD)$ . Trong tam giác

$SNM$ vẽ đường phân giác

$NK$ của góc

$SNM ( K \in SM)$
Vì

$DC // AB \Rightarrow DC //(SAB)$

$\Rightarrow (KDC) \cap (SAB)=QP //AB ( Q \in SA, P \in SB)$
Khi đó

$CDQP$ là thiết diện phải dựng.

Vì

$SMN$ là tam giác đều nên

$KS=KM$

$\Rightarrow Q, P$ tương ứng là trung điểm

$SA,SB.$
Gọi

$V_1$ là thể tích phần hình chóp nằm trên thiết diện .Ta có:

$V_1=V_{S.QPCD}=V_{S.QPD}+V_{S.PDC} (1)$
Ta có :

$\frac{V_{S.QPD}}{V_{S.ABD}}=\frac{SQ}{SA}.\frac{SP}{SB}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow V_{S.QDP}=\frac{1}{4}V_{S.ABD}=\frac{1}{8}V_{S.ABCD}=\frac{1}{8}V (2)$
Ở đây

$V=V_{ABCD}$ . Tương tự có

$\frac{V_{S.PDC}}{V_{S.BDC}}=\frac{1}{2}\Rightarrow V_{S.BDC}=\frac{1}{4}V (3)$
Từ

$(1),(2),(3)$ ta có:

$V_1=V_{S.QDCP}=\frac{1}{8}V+\frac{1}{4}V=\frac{3}{8}V (4)$
Hệ thức

$(4)$ dẫn đến

$\frac{V_1}{V_2}=\frac{3}{5}$ .

Bài 108420

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108420

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan