Bài 110349

Question

Cho hình lập phương

$ABCD.A_1B_1C_1D_1$ cạnh bằng

$a$ .
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

$A_1B$ và

$B_1D$ .
2) Gọi

$M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh

$B_1B, CD,A_1D_1$ . Tính góc giữa hai đường thẳng

$MP$ và

$C_1N$ .

score 0 · Answer 1

1) Dựng hệ trục tọa độ

$Axyz$

Trong hệ trục này, ta có:

$A=(0;0;0) ; B=(a;0;0); C=(a;a;0); D(=0;a;0)$

$A_1=(0;0;a); B_1=(a;0;a); C_1=(a;a;a); D_1=(0;a;a)$
Từ đó ta có:

$\overrightarrow{A_1B}=(a;0;-a);\overrightarrow{B_1D}=(-a;a;-a)$

$\Rightarrow [\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{B_1D}]=$

$(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{0}}&{{-a}}\\ {{a}}&{{-a}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{-a}}&{{a}}\\ {{-a}}&{{-a}} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a}}&{{0}}\\ {{-a}}&{{a}} \end{array}} \right|)=(a^2;2a^2; a^2)$ .
Lại có:

$\overrightarrow{A_1B_1}=(a;0;0)$ do đó:

$d(A_1B;B_1D)=\frac{ |[\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{B_1D}]. \overrightarrow{A_1B_1}|}{| [\overrightarrow{A_1B},\overrightarrow{B_1D}]|}=\frac{a^3}{a^2\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ .
2) Do

$M,N,P$ là trung điểm của

$B_1B,CD,A_1D_1$ nên ta có: