Bài 110352

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $AC,BD$ cắt nhau tại gốc tọa độ. Biết $A=(2;0;0); B=(0;1;0); S=(0;0;2\sqrt{2})$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA,BM $.

score 0 · Answer 1

Ta có: $C=(-2;0;0) \Rightarrow M=(-1;0;\sqrt{2})$

Vì vậy $\overrightarrow{SA}=(2;0;-2\sqrt{2}); \overrightarrow{BM}=(-1;-1;\sqrt{2})$
Gọi $\alpha $ là góc nhọn tạo bởi $SA$ và $BM$, thì;
$\cos \alpha= \frac{|\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BM}|}{|\overrightarrow{SA}||\overrightarrow{BM}|}=\frac{|-2-4|}{\sqrt{4+8}.\sqrt{1+1+2}}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $\alpha= (SA,BC)=30^0$.
Ta cũng có: $d(SA,BM)= \frac{|[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{BM}].\overrightarrow{SB}|}{|[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{BM}]|} (1)$
Ta có: $[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{BM}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{0}}&{{-2\sqrt{2}}}\\
{{-1}}&{{\sqrt{2}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-2\sqrt{2}}}&{{2}}\\
{{\sqrt{2}}}&{{-1}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2}}&{{0}}\\
{{-1}}&{{-1}}
\end{array}} \right|)=(-2\sqrt{2};0;-2)$.
Lại có: $\overrightarrow{SB}=(0;1;-2\sqrt{2})$, thay vào $(1)$ ta đi đến $d(SA,BM)=\frac{|4\sqrt{2}|}{\sqrt{8+4}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{12}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Bài 110352

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110352

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan