Bài 112497

Question

Trong không gian với hệ tọa độ

$Oxyz$ cho bốn điểm

$A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3)$ .
a) Viết phương tình mặt cầu đi qua bốn điểm

$A,B,C,D$ .
b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

$ABC$ .

score 0 · Answer 1

a) Phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm có dạng:

$x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$
Thay tọa độ của

$A,B,C,D$ vào phương trình mặt cầu ta được:

$\begin{cases}6a+6b+d=-18 \\ 6a+6c+d=-18\\ 6b+6c+d=-18\\6a+6b+6c+d=-27 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a=b=c \\ 6a=-9\\d=-18-6(a+b) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a=b=c=-\frac{3}{2} \\ d=0 \end{cases}$
Vậy

$(S):$

$x^2+y^2+z^2-3x-3y-3z=0$

$(S): (x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2+(z-\frac{3}{2})^2=\frac{27}{4}$
Đây là hình cầu có tâm tại điểm

$I(\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2})$ và bán kính

$R=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .
b) Mặt cầu

$(S)$ cắt mặt phẳng

$ABC$ theo giao tuyến là đường tròn. Đường tròn này chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác

$ABC$ . Tâm

$H$ của nó chính là hình chiếu của

$I$ lên

$(ABC)$ .

$(ABC)$ qua

$A,B,C$ nhận

$\overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ]$ làm véc-tơ pháp tuyến
Có

$\overrightarrow{AB}=(0;-3;3); \overrightarrow{AC}=(-3;0;3)$

$\Rightarrow \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC} ] = (-9;-9;-9)=-9(-1;-1;-1)$ . Vậy phương trình

$(ABC)$ là:

$x+y+z-6=0$ .
Đường thẳng

$IH$ nhận vectơ pháp

$\overrightarrow{n}=(1;1;1)$ của

$(ABC)$ là vectơ chỉ phương nên ta có phương trình:

$\begin{cases}x=\frac{3}{2}+t \\ y=\frac{3}{2}+t \\z=\frac{3}{2}+t \end{cases}$
Từ đó suy ra

$H= IH\cap(ABC)$ . Ta có:

$\left ( \frac{3}{2} +t \right )+\left ( \frac{3}{2} +t \right )+\left ( \frac{3}{2} +t \right )-6 =0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$
Vậy

$H(2;2;2)$ .

1 Đáp án