Bài 112625

Question

Trong mặt phẳng

$(P)$ cho hình vuông

$ABCD$ . Trên đường thẳng

$Ax$ vuông góc với

$(P)$ lấy một điểm

$S$ bất kì. Dựng mặt phẳng

$(Q)$ qua

$A$ và vuông góc với

$SC$ . Mặt phẳng

$(Q)$ cắt

$SB,SC,SD$ lần lượt tại

$B',C',D'$ . Chứng minh rằng các điểm

$A,B,C,D,B',C',D'$ cùng nằm trên một mặt cầu cố định.

score 0 · Answer 1

Vì

$(Q)\bot SC\Rightarrow SC\bot AC' (1)$ . Do

$SA\bot(P)\Rightarrow SA\bot CB$ .
Ta lại có

$CB\bot AB\Rightarrow CB\bot (SAB)\Rightarrow CB\bot AB'$ .
Do

$(Q)\bot SC\Rightarrow SC\bot AB'$ . Từ đó

$AB'\bot (SBC)\Rightarrow AB'\bot SB (2)$
Lý luận tương tự có

$AD'\bot SD (3)$ .
Từ

$(1),(2),(3)$ suy ra nếu kẻ

$AB', AC',AD'$ lần lượt vuông góc với

$SB,SC,SD$ thì mặt phẳng

$(Q)$ chính là mặt phẳng

$(AB'C'D')$ .

Trong

$(ABCD)$ ta có:

$\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90^0 (4)$
Theo trên

$AB'\bot B'C\Rightarrow \widehat{AB'C}=90^0 (5)$
Tương tự lại có

$\widehat{AC'C}=\widehat{AD'C}=90^0 (6)$
từ

$(4),(5),(6)$ suy ra:

$A,B,C,D,B',C',D'$ cùng nằm trên mặt cầu đường kính

$AC\Rightarrow$ đpcm.

1 Đáp án