Bài 112628

Question

Cho hình chóp tứ giác đều

$S.ABCD$ có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng

$a$ . Có một hình cầu đi qua

$A$ và tiếp xúc với

$SB,SD$ tại các trung điểm của chúng. Xác định tâm

$O$ của hình cầu và tính bán kính của hình cầu ấy theo

$a$ .

score 0 · Answer 1

Gọi

$M$ là trung điểm của

$SB$ . Vì hình cầu tiếp xúc với

$SB$ tại trung điểm của

$SB$ nên

$OM \bot SB \Rightarrow O \in$ mặt phẳng trung trực của

$SB$ .
Từ giả thiết suy ra

$SAB,SBC$ đều là các tam giác đều cạnh

$a$ , nên

$AM\bot SB, CM\bot SB$ , vậy

$(MAC)$ chính là mặt phẳng trung trực của

$SB$ .
Do đó

$O\in (MAC).$ Tương tự nếu gọi

$N$ là trung điểm của

$SD$ thì

$O\in (NAC)$ .
Do đó :

$O\in (MAC)\cap (NAC)\Rightarrow O\in AC$ .
Trong mặt phẳng

$(MAC)$ vẽ trung trực của

$MA$ , cắt

$AC$ tại

$O\Rightarrow OM=OA$ .
Dễ thấy

$\triangle MAO=\triangle NAO\Rightarrow OM=ON$ .
Từ đó ta có

$O$ chính là tâm của hình cầu cần tìm.

Gọi

$R$ là bán kính hình cầu này thì

$R=OA (1)$
Ta có:

$OA=\frac{AK}{\cos \widehat{KAO}}=\frac{AK}{\cos\widehat{MAH} } (2)$
Ở đây

$K,H$ lần lượt là trung điểm của

$AM$ và tâm của đáy

$ABCD$ .
Từ

$(1),(2)$ suy ra:

$R=\frac{\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$ .

1 Đáp án