Bài 112683

Question

Cho hình tứ diện

$ABCD$ có các cặp cạnh đối bằng nhau:

$AB=CD, AC=BD; AD=BC$ . Chứng minh rằng tâm hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp của tứ diện trùng nhau.

score 0 · Answer 1

Gọi

$O$ là tâm hình cầu ngoại tiếp hình tứ diện
Khi đó ta có:

$OA=OB=OC=OD$ .
Từ

$O$ kẻ

$OA_1,OB_1,OC_1,OD_1$ lần lượt vuông góc với các mặt

$(BCD),(ACD),(ABD),(ABC)$ .

Do

$OB=OC=OD\Rightarrow A_1B=A_1C=A_1D$ .
Vậy

$A_1$ là tâm đường tròn ngoại tiếp ta giác

$BCD$ . Tương tự

$B_1,C_1,D_1$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác

$ACD,ABD,ABC$ .
Từ giả thiết suy ra

$\Delta ABC=\Delta DCB$

$\Rightarrow$ các bán kính đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác này bằng nhau.

$\Rightarrow AD_1=A_1C$

$\Rightarrow$ tam giác vuông

$AD_1O$ bằng tam giác vuông

$CA_1O$

$\Rightarrow OD_1=OA_1$ . Tương tự có

$OA_1=OB_1=OC_1=OD_1\Rightarrow O$ là tâm hình cầu nội tiếp tứ diện

$ABCD \Rightarrow$ đpcm

1 Đáp án