Bài 112684

Question

Cho hình chóp tứ giác đều

$S.ABCD$ có tất cả các cạnh đáy và cạnh bên đều bằng

$a$ . Gọi

$A',B',C',D'$ lần lượt là trung điểm của

$SA,SB,SC,SD$ .
a) Chứng minh rằng các điểm

$A,B,C,D,A',B',C',D'$ cùng thuộc mặt cầu

$(S)$ .
b) Tìm bán kính mặt cầu

$(S)$ .

Học Tại Nhà · Answer 1 · 4/10/2015 1:56:25 PM

a/ Gọi 0 là giao điểm AC, BD của đáy hình vuông ABCD
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO vuông góc với mp (ABCD) => các điểm trên SO cách đều A,B,C,D
A',B',C',D' là trung điểm của 4 đoạn thẳng bằng nhau SA,SB,SC,SD => (A'B'C'D')//( ABCD) => các điểm trên SO cũng cách đều A',B',C', D'.
Trong mp(SAC), gọi K là trung điểm của AA', từ K kẻ đường trung trực IK của AA' cắt SO tại I.
Thật vậy, I thuộc SO nên IA=IB=IC=ID; IA'=IB'=IC'=ID'
Mà I thuộc trung trực AA' nên IA= IA'
=> I là tâm mặt cầu (S) cần tìm,, IK là bán kính mặt cầu (S)
Vậy các điểm A, B,C,D, A',B', C', D' cùng thuộc mặt cầu (S) (đpcm)

b/ AO=a

$\sqrt{2}$ /2 => sin ASO= AO/AS=

$\sqrt{2}$ /2 hay sin KSI =

$\sqrt{2}$ /2. Trong tam giác SKI vuông tại K: IK=SK

$\times$ tan SKI = 3/4a

$\times$

$\sqrt{2}$ /2 =

$\frac{3\sqrt{2}a}{8}$