Bài 106337

Question

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có phương trình:

$(P): x+z-8=0 ; (d): \begin{cases}x=-1+t \\ y=-2t\\z=7+t \end{cases} , t\in R$
1. Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P)
2. Viết phương trình mặt cầu có bán kính

$R=2 \sqrt{2}$ tiếp xúc với (d) tại điểm M(-2; 2; 6) và tiếp xúc với (P)

score 0 · Answer 1

1. Bằng cách thay phương trình tham số của (d) vào (P), ta thấy:

$-1+t+7+t-8=0 \leftrightarrow 2t-2=0 \leftrightarrow t=1$
Vậy đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A(0; -2; 8)
2. Giả sử mặt cầu cần dựng có tâm I(a; b; c) khi đó I thuộc mặt phẳng :

$(P_M): \begin{cases}qua M(-2; 2; 6) \\ vtpt \overrightarrow{u_d}(1; -2; 1) \end{cases} \leftrightarrow (P_M): x-2y+z=0$
Ta lần lượt có:

$I\in(P) \rightarrow a-2b+c=0$ (1)

$MI=R \leftrightarrow (a+2)^2+(b-2)^2+(c-6)^2=8$ (*)

$d(I,(P))=R \leftrightarrow \frac{|a+c-8|}{\sqrt{1^2+1^2} }=2 \sqrt{2} \leftrightarrow |a+c-8|=4$

$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a+c=12\\a+c=4\end{array} \right. \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 12-a\\c=4-a\end{array} \right.$
Từ đó:
+) Với

$c=12-a$ kết hợp với (1) thì

$b=6$ thay vào (*) được:

$(a+2)^2+16^2+(6-a)^2=8$ , vô nghiệm
+) Với

$c=4-a$ kết hợp với (1) có

$b=2$ thay vào (*) được:

$(a+2)^2+(-a-2)^2=8 \leftrightarrow (a+2)^2=4 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=-4 \rightarrow c=8 \rightarrow I_1(-4; 2; 8)\\a=0 \rightarrow c=4 \rightarrow I_2(0; 2; 4)\end{array} \right.$
Khi đó:
+) Với tâm

$I_1$ (-4; 2; 8) ta được mặt cầu

$(S_1)$ có phương trình: