Bài 109743

Question

Cho hình chóp

$S.ABC$ có

$SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng

$(ABC),\Delta ABC$ vuông tại

$C$ với

$AB=2a,\widehat{BAC}=30^0$ .Gọi

$M$ là một điểm di động trên cạnh

$AC,H$ là hình chiếu vuông góc của

$S$ trên

$BM$

$a.$ chứng minh rằng

$AH\bot BM$

$b.$ Đặt

$AM=x$ với

$0\leq x\leq \sqrt{3}$ .Tính khoảng cách từ

$S$ đến

$BM$ theo

$a,x$ .Tìm các giá trị của

$x$ để khoảng cách này có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất

score 0 · Answer 1

$a.$ Vì

$SA\bot (ABC)$ nên

$AH$ là hình chiếu vuông góc của

$SH$ trên

$(ABC)$ do đó :

$AH\bot BM$ theo định lí ba đường vuông góc

$b.$ Ta thấy ngay khoảng cách từ

$S$ đến

$BM$ chính là

$SH$ và trong

$\Delta SAH$ ta có :

$SH^2=SA^2+AH^2 (1)$
Trong

$\Delta ABC$ vuông tại

$C$ có

$\widehat{BAC}=30^0$ nên :

$BC=\frac{AB}{2} =a$ và

$AC=AB.cos\widehat{BAC} =2a.cos30^0=a\sqrt{3}$
Trong

$\Delta BCM$ vuông tại

$C$ ta có :

$BM^2=BC^2+CM^2=BC^2+(AC-AM)^2$

$=a^2+(a\sqrt{3}-x )^2=x^2-2\sqrt{3} ax+4a^2$

$\Leftrightarrow BM=\sqrt{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 }$
Nhận xét rằng

$\Delta AMH$ và

$CMB$ là hai tam giác vuông có

$\widehat{AMH} =\widehat{CMB}$ nên chúng đồng dạng, suy ra :

$\frac{AH}{BC}=\frac{AM}{BM}\Rightarrow AM=\frac{AM.BC}{BM}=\frac{xa}{\sqrt{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 } } (2)$
Thay

$(2)$ và

$SA=2a$ vào

$(1)$ ta được :

$SH^2=4a^2+\frac{x^2a^2}{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 } =\frac{5x^2a^2-8\sqrt{3}a^3x+16a^4 }{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 }$

$\Leftrightarrow SH=\sqrt{\frac{5x^2a^2-8\sqrt{3}a^3x+16a^4 }{x^2-2\sqrt{3}ax+4a^2 } }$
Từ hệ thức

$(1)$ với

$SA=2a$ không đổi, ta có nhận xét :
-

$SH$ đạt giá trị lớn nhất khi :

$AH_{Max}\Leftrightarrow AM_{Max}\Leftrightarrow M\equiv C\Leftrightarrow x=a\sqrt{3}$
-

$SH$ đạt giá trị nhỏ nhất khi :

$AH_{Min}\Leftrightarrow AM_{Min}\Leftrightarrow M\equiv A\Leftrightarrow x=0$

Bài 109743

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109743

1 Đáp án

Liên quan

HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Lý thuyết liên quan